[figure: 1956; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; M E T U; Mathematics Department; Math 260 – Basic Linear Algebra; Midterm II; 2001–2002; Spring Semester; Friday, 26.4.2002; 17:40–19:10; 90 minutes; 4 questions on 5 pages.; Name :; Last Name :; Signature :; Student Number :; Section :; Total; Q1; Q2; Q3; Q4; SHOW ALL YOUR WORK.; 60; 15; 15; 15; 15]

(15 pts.) Q1. Let P_{3} denote the space of polynomials of degree not greater than 3 and and W denote the subset formed by polynomials, p, in P_{3} , such that p(2) = 0 .

(a) Show that W is a subspace of P_{3} .

(b) Find a basis for W .

(c) Determine the dimension of W .

(15 pts.) Q2. Consider triples S = \{[ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ]\}, T = \{[ \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ]\} of

vectors in R^{3} .

(a) Justify that S and T are bases in R^{3} .

(b) Find the coordinate matrix [w]_{T} for vector w = [ \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 8 \end{matrix} ].

(c) Find the transition matrix P from basis T to basis S.

(15 pts.) Q3. Assume that B = {v_{1}, v_{2}, v_{3}} is a basis in some inner product space V , such that (v_{1}, v_{2}) = (v_{2}, v_{3}) = (v_{3}, v_{1}) = 0 , (v_{1}, v_{1}) = 2 , and (v_{2}, v_{2}) = (v_{3}, v_{3}) = 1 . Consider a pair of vectors, S = {u_{1}, u_{2}}, u_{1}, u_{2} ∈ V whose coordinate matrices are

[u_{1}]_{B} = [ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ] [u_{2}]_{B} = [ \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ].

(a) Justify that u_{1} and u_{2} are linearly independent. Is S an orthogonal basis for the subspace Span(S) ?

(b) Normalize the vectors u_{1} and u_{2} .

(c) Find a basis for the orthogonal complement S^{⊥} and complete the set S to a basis of V .

Name : Student Number: Section: Signature:

(15 pts.) Q4. For a n × n matrix A, let C_{A} denote the column space of A and S_{A} the solution space of the matrix equation AX = 0 for n × 1 matrices X. Show that (a) if M = AB, then S_{B} ⊂ S_{M} ;

(b) if M = AB, then C_{M} ⊂ C_{A};

(c) if A^{2} = 0 , then C_{A} ⊂ S_{A}.